劳务派遣员工工伤由谁承担？

工伤九级，是劳务公司的派遣员工，该找哪个公司承担赔偿？律师所根据其代理的案件予以汇总说明。
【案情简介】
        吴某是某劳务服务有限公司向某建筑工程公司提供劳务的员工，2018年8月10日，吴某在保利中景花园41座二层支模过程中不慎摔下受伤。事发地为某建筑工程公司项目施工地。事发后，吴某被送到医院治疗，经医院诊断为：1、右侧多发肋骨骨折（第4-11肋）；2、双下肺挫裂伤；3、右侧创伤性血气胸；4、左顶部头皮挫伤；5、腰2右侧横突骨折；6、右手软组织挫擦伤；7、全身多处软组织挫伤；吴某住院治疗70天。2019年6月6日，经认定为工伤。2019年6月28日，经鉴定为：劳动功能障碍等级为九级，确认停工留薪期为2018年8月10日至2018年11月9日。申请人的工资为320元/天，月平均工资为9600元。吴某向建筑工程公司要求支付其一次性伤残补助金86400元（9600元/月×9个月）、一次性工伤医疗补助金19200元（9600元/月×2个月）、一次性伤残就业补助金76800元（9600元/月×8个月）、住院期间伙食补助费4900元（100元/天×70天×70%）、交通费2000元、护理费10500元（150元/天×70天）、停工留薪期工资28800元（9600元/月×3个月），未购买社保经济补偿金14400元，共计243000元。
【仲裁裁决】 
        双方达成和解，某建筑工程公司向吴某支付了127000元元作为赔偿金
【律师解析】 
        劳务派遣的员工，劳动关系是存在与劳务公司和员工之间的，用工单位与员工之间仅存在劳务关系。 
        《劳动合同法》第九十二条的规定，给被派遣劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位承担连带赔偿责任，劳动者的医疗费应由用工单位和用人单位负责，他们承担连带赔偿责任。 
        最高人民法院《关于审理劳动争议案件适用法律若干问题的解释（二）》第十条 劳动者因履行劳动力派遣合同产生劳动争议而起诉，以派遣单位为被告；争议内容涉及接受单位的，以派遣单位和接受单位为共同被告。这是由于派遣工劳动所产生的经济收益全部归实际用工公司享有，而劳动者在实际用工单位内发生工伤事故后的赔偿责任却要派遣公司来承担所有的工伤赔偿费用也显失公平。同时，作为用工单位，应当对派遣工负有安全生产保障义务，主要包括：提供安全生产设施的义务、设置安全生产管理机构或者配备专职安全生产管理人员的义务以及安全教育与培训的义务等。派遣工在实际用工公司发生了工伤事故，用工单位没有尽到这些义务，因此应承担连带赔偿责任。